COMPRENDRE le zome     



Un peu de géométrie de base (ça ne fait pas de mal)

Les polygones sont des surfaces limitées par des côtés qui les ceinturent.
Ils peuvent être quelconques ou régulierssi avec tous les côtés de même longueur et des sommets à égale distance d'un centre.
Convexes si tous les angles intérieurs font moins de 180°. Sinon étoilés.

Les polyèdres sont des volumes entourés entièrement de polygones
Les faces des polyèdres réguliers sont  les mêmes et des polygones réguliers


                   Les 5 polyèdres convexes et réguliers (polyèdres de Platon ) : octaèdre, tétraèdre, dodécaèdre,hexaèdre, icosaèdre  


Les zonagones sont des polygones réguliers ou non ayant des côtés égaux et parallèles 2 à 2. Ce qui implique  que ces zonagones aient un nombre pair de côtés, 4, 6, 8, ...
Les zonaèdres sont des polyèdres entièrement bordés par des faces zonagonales
Les zonaèdres réguliers ont des faces polygonales identiques

          
Deux zonaèdres quelconques mais sympatiques                                                         
 
Zonaèdres réguliers 
  dans chaque volume, les losanges de l'enveloppe sont identiques

Rhombizonaèdres polaires de révolution (ou zonaèdres polaires)
Ce sont des volumes

  • composés de losanges (rhombes)
  • avec 2 sommets sur un axe fictif (les pôles)
  • possédant une symétrie de révolution par rapport à cet axe (se retrouvant identique après la rotation d'un certain angle autour de cet axe)

          

                                                          
  Création: n arêtes (ici 7) se réunissent en un point sur l'axe en se répartissant égalitairement autour de cet axe fictif avec le même angle par rapport à l'axe.  Voilà le premier pôle et les première arêtes du zonaèdre.
Avec 2 arêtes voisines se crée le premier losange et les 6 autres au même niveau.
Dans l'espace entre 2 losanges et avec ses arêtes basses, on crée une autre couronne de losanges de niveau inférieur.
Et ainsi de suite. Le zonaèdre gonfle mais près quelques processus identiques, il atteint un volume maximum et commence à rétrécir; et finalement les arêtes convergent en un second pôle.
Ce processus de création est le même avec le même résultat quel que soit le nombre d'arêtes de départ (plus ou moins rapidement selon le nombre de ces arêtes).

Composition

                                                                                                                                                                       


Ces zonaèdres sont constitués de losanges qui se regroupent en couronnes entourant l'axe. Dans une couronne, les losanges sont identiques. Les sommets sont situés sur des plans perpendiculaires à l'axe (les niveaux). La distance entre 2 niveaux successifs est constante, quelle que soit sa position dans le zonaèdre.

3 paramètres interviennent pour déterminer un zonaèdre précis
  • N est le nombre d'ordre, un premier paramètre (nombre entier à partir de 3), soit le nombre d'arêtes qui se réunissant aux deux pôles.
                        De lui dépend le nombre de couronne                 = N - 1
              Le nombre de facettes par couronne                   = N

                    Le nombre total de facettes                                 = N * (N - 1)
                       
Zonaèdres d'ordres 4, 8 et 12

     F est le nombre de forme, un second paramètre indépendant
(nombre entier, fractionnaire ou irrationnel, compris entre 0 et l'infini)

De lui dépend la forme plus ou moins pointue du volume

Le choix d'un nombre d'ordre et d'un nombre de forme va fixer la forme du volume (la forme, mais pas sa dimension).
Plus ce nombre est petit, plus le zonaèdre des allongé, plus ce nombre est grand, plus le zonaèdre est aplati.

                              
      Zonaèdres de nombres de forme de 2, 1 et 0,5


      •          Un paramètre de taille (ou facteur d'échelle)
      • Si la forme est fixée, le choix d'une seule dimension (arête ou diamètre, ou hauteur,...) va déterminer la taille du volume et celle de chacun de ses éléments

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