Calculer et construire un zome
CONTENU
1- Page 1
Complément d'examen du zome
Définition et calculs d'un zome MODELE
Eléments du zome en PROJET
2- Page 2
Démarche et conseils pour autoconstruire


1- ZOME et Zomandala
On traitera des zomes polaires à axe vertical. Ils dépendent de deux paramètres de forme
- N, le nombre d'ordre qui détermine le nombre de couronnes et le nombre de losanges par couronne
- F le nombre de forme qui, avec la grandeur N choisie, fixe définitivement la forme du zome

Figure précédente

   Toutes les arêtes des losanges du zome (comme A) ont la même longueur et forment le même angle avec l'axe vertical (ou toute parallèle à l'axe).
      A débute sur un niveau (n) et aboutit sur le niveau (n+1) à une altitude plus basse de h.  
     L'extrémité inférieure s'éloigne de l'axe d'une grandeur E

Le nombre de forme F est défini comme la tangente trigonométrique de l'angle
F, soit dans le triangle BCD

F = E / h
   Les losanges possèdent des diagonales obliques DO.
    Les secondes diagonales DH sont horizontale. Elles se projettent sans déformation sur un plan horizontal.
    De même pour les segments E horizontaux, projections sur ce plan des arêtes A du zome.

    On nommera zomandala la figure plane qui sera la projection de toutes les arêtes d'un zome sur un plan horizontal. Sa forme et sa complexité ne dépendront que du nombre d'ordre N.

Zomandala 6
Deux types de losanges sont visibles, L1 et L2
Avec leurs diagonales horizontales DH1 et DH2
Les côtés de l'hexagone se forment par deux E en prolongement:
ce sont les diagonales horizontales  des losanges L3 verticaux du zome 6 source de ce zomandala





2- Définition et Calculs d'un modèle

On va jongler avec 3 ensembles
- Le PROJET
    C'est le zome que l'on veut construire. Avec N et F choisis, il faut donner la dimension d'un élément.
Comme unités, on adoptera des mètres pour les longueurs ou mètres carré pour les surfaces
Et comme exemple ce sera un zome 6 (N=6), de nombre de forme F=1,618 (le nombre d'Or) et d'une surface au sol de 20 m2.


- Le MODELE est un zome ayant exactement la même forme que le PROJET mais dont on impose la dimension d'un élément.

Soit h = 1 mètre. C'est  un zome ressemblant au PROJET mais de taille différente (plus ou moins grande ou petite)
L'introduction de ce MODELE va faciliter les calculs




- Le ZOMANDALA du modèle.
Avec h=1, le nombre de forme
F = E / h donne
E = F.
On remplacera E par F dans le zomandala précédent

Les  places des losanges sont identiques dans le PROJET et dans le MODELE,  losanges 1 (L1) liés au pôle supérieur et au centre dans le zomandala, et place des losanges suivants dans les couronnes suivantes.

   On réservera les lettres en majuscules pour les éléments du PROJET, et celles en minuscules pour le zomandala (et éventuellement s'il le faut quelque chose de mixte pour le MODELE. Par exemple

- dh ou dH pour les diagonales horizontales du Zomandala et du MODELE et DH pour le PROJET
- a pour les arêtes du MODELE et A du PROJET

Calculs dans le MODELE- Méthode originale ZOMANDALA
En fait, elle autorise trois approches

       _ Méthode mathématique: la plus précise. Assez simple si l'on connait le tréorème de Pythagore et quelques formules de trigonométrie.
       _ Méthode graphique: sans calculs mais des dessins. Précisoin suffisante si les dessins sont soigneux et de taille suffisante.
       _ Méthode sans calculs ni dessins. Prendre des données dans des tableaux, s'ils existent
Exemple en consultant ceux établis par la suite pour le Modele défini ci-dessus.



L'arête des losanges







a = racine(F^2+1)
a= 1,902 m

On peut aussi obtenir ce résultat
 en dessinant cette figure et mesurant
a

Losange 1
Losange 2 Losange 3 Zome 6 avec murs Zome 6 rentrant

Diagonale
horizontale

dh1= F=1,618
Diagonale
horizontale

dh2 = F*racine(3)
2,802
Diagonale
horizontale

dh3 = 2F =  3,236
Surface à l'équateur

27,207
Surface à l'équateur

27,207


Angle alpha

50,3°
Angle alpha

94,9°
Angle alpha

116,6°
Surface au sol

27,207
Surface au sol

20,405

Diagonale
oblique dans le zomandala

2,802
Diagonale
oblique dans le zomandala

1,618
Diagonale
oblique dans le zomandala

0
Hauteur au-dessus de l'équateur

3 m
Hauteur au-dessus du sol

4 m


Surface (m2) dans le zomandala

2,267
Surface (m2) dans le zomandala

2,267
Surface (m2) dans le zomandala

0
Diamètre à l'équateur

6,472

Diamètre au sol


5,604

Diagonale dans le Modèle

3,443
Diagonale dans le Modèle

2,573
Diagonale dans le Modèle

2
Côté de l'hexagone à l'équateur

= 2*F = 3,236
Côté de l'hexagone au sol

= dh2 = 2,802


Pente par rapport à l'axe dans le Modèle

54,5°
Pente par rapport à l'axe dans le Modèle

39°
Pente par rapport à l'axe dans le Modèle

0°

Voilà le tableau relatif au MODELE du zome 6, de nombre de forme 1,618, avec h = 1 m.
L'angle alpha est un des deux angles que l'on rencontre dans le type de losange indiqué:
plus précisément celui que l'on trouve dans les deux sommets opposés qui ne sont pas sur un même niveau
(les deux autres sommets opposés portent simplement un angle de 180° moins l'angle alpha).
La pente des losanges est celle de leurs diagonales obliques (pente minimum par rapport à l'axe).

3- Valeurs des éléments du PROJET
   
   
Le
MODELE et le PROJET  ayant la même forme, leurs angles sont identiques, en particulier:
leurs angles Alpha ainsi que les pentes. de leurs losanges La surface à l'équateur ou au sol est aussi un héxagone.

R, facteur d'échelle (ou de proportionnalité)



Il s'agit du rapport entre la dimension d'un élément du PROJET er de celle du même élément du MODELE que l'on vient de calculer.
A une nuance près

R  est le facteur d'échelle  pour la comparaison de grandeurs de la première dimension, les longueurs
Mais pour la comparaison des surfaces, deuxième dimension, on rencontrera le carré de R
Pour le PROJET, on désire une surface de 20 m2.
Et en plus, on va tester deux situations: un zome avec murs de 20 m2 à l'équateur (et au sol), un zome rentrant de 20 m2 au sol.

Zome avec murs           20 / 27,207 =  0,735 = (R1) au carré               R1 =  O,857
Il faudra donc multiplier toutes les longueurs calculées dans le MODELE par ce facteur d'échelle pour obtenir celles du PROJET
On pourra se contenter pour le moment  des dimensions réelles des principaux éléments du zome (au mm ou au cm2 près)


Zome 6 avec murs

Longueur des arêtes

1,631
Diamètre à l'équateur

5,546
Côté de l'héxagone

2,773
Hauteur totale

2,571
+ DH

DH étant la hauteur des murs rectangulaires qu'il faudra choisir maintenant
en fonction de l'ésthétique de l'ensemble?
ou de la fonction du zome?
veux-on une mézzannine, un étage complet ? ...


Zome rentrant  coupure à 1 niveau sous l'équateur   20 / 20,405 = 0,98 =(R2) au carré      R2 = 0,990

Zome 6 rentrant  coupé à 1  niveau sous l'équateur Longueur des arêtes

1,883
Diamètre à l'équateur

6,407
Surface à l'équateur

26,93
Diamètre au sol

5,598
Surface au sol

20
Côté de l'haxgone au sol

2,774
 Hauteur totale

3,96



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